基在线性空间中的作用#想到哪写到哪，早就偏题了，思绪比较混乱，望谅解。

为什么基这么重要，因为对于任何一个数学结构，只要能够证明他是一个线性空间，那么就可以取一组基，然后你就获得了整个线性代数，可以使用线性代数中熟悉的概念。而在群/环/模论中，不同的群/环/模可能有截然不同的性质，没办法这样通用地去研究。

例如在Hilbert空间里，傅里叶变换就是将函数变换到一组特殊的正交基上

定义内积

⟨α,β⟩=lim⁡T→∞1T∫−T/2+T/2α(t)β‾(t)dt\langle\alpha, \beta\rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \alpha(t) \overline{\beta}(t) \mathrm{d}t⟨α,β⟩=T→∞lim​T1​∫−T/2+T/2​α(t)β​(t)dt选取正交基 ei2πfte^{i 2 \pi f t}ei2πft

不难发现这组基是正交的：

⟨ei2πf1t,ei2πf2t⟩={1f1=f20f1≠f2\langle e^{i 2 \pi f_1 t}, e^{i 2 \pi f_2 t}\rangle = \begin{cases}

1 & f_1 = f_2 \\

0 & f_1 \neq f_2

\end{cases}⟨ei2πf1​t,ei2πf2​t⟩={10​f1​=f2​f1​=f2​​在此基础上我们就可以推出傅里叶变换：

把信号 x(t)x(t)x(t) 用正交基 ei2πfnte^{i 2 \pi f_n t}ei2πfn​t 表示为：

x(t)=lim⁡T→∞∑n=−∞∞⟨x,ei2πfnt⟩ei2πfnt=lim⁡T→∞∑n=−∞∞1T∫−T/2+T/2x(t)e−i2πfntdt⋅ei2πfnt\begin{align*}

x(t) &= \lim_{T \to \infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \langle x, e^{i 2 \pi f_n t} \rangle e^{i 2 \pi f_n t} \\

&= \lim_{T \to \infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) e^{-i 2 \pi f_n t}\mathrm{d}t \cdot e^{i 2 \pi f_n t}

\end{align*}x(t)​=T→∞lim​n=−∞∑∞​⟨x,ei2πfn​t⟩ei2πfn​t=T→∞lim​n=−∞∑∞​T1​∫−T/2+T/2​x(t)e−i2πfn​tdt⋅ei2πfn​t​其中 fn=nTf_n = \frac{n}{T}fn​=Tn​。Δf=1T\Delta f = \frac{1}{T}Δf=T1​，所以上式可以写成：

x(t)=lim⁡T→∞∑n=−∞∞Δf∫−T/2+T/2x(t)e−i2πfntdt⋅ei2πfnt=∫−∞∞∫−∞∞x(t)e−i2πftdt⋅ei2πftdf\begin{align*}

x(t) &= \lim_{T \to \infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \Delta f \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) e^{-i 2 \pi f_n t}\mathrm{d}t \cdot e^{i 2 \pi f_n t} \\

&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t \cdot e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f

\end{align*}x(t)​=T→∞lim​n=−∞∑∞​Δf∫−T/2+T/2​x(t)e−i2πfn​tdt⋅ei2πfn​t=∫−∞∞​∫−∞∞​x(t)e−i2πftdt⋅ei2πftdf​由积分的定义可以将求和化为积分。

这个二重积分有着美妙的对称性，而且这里面就蕴含了傅里叶变换：

F(x)(f)=x^(f)=∫−∞∞x(t)e−i2πftdt\mathcal{F}(x)(f) = \hat x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}tF(x)(f)=x^(f)=∫−∞∞​x(t)e−i2πftdt及其逆变换：

F−1(x^)(t)=x(t)=∫−∞∞x^(f)ei2πftdf\mathcal{F}^{-1}(\hat x)(t) = x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat x(f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}fF−1(x^)(t)=x(t)=∫−∞∞​x^(f)ei2πftdf这种定义的傅里叶变换 F\mathcal{F}F 可以看作一个线性变换，F\mathcal{F}F 和 F−1\mathcal{F}^{-1}F−1 互为逆变换 F−1∘F=id\mathcal{F}^{-1} \circ \mathcal{F} = \mathrm{id}F−1∘F=id。

而我们熟悉的Parseval定理，其实也只是勾股定理的推广，这里说的是在不同的正交基下，向量的模长都等于坐标的平方和：

∫−∞∞∣x(t)∣2dt=∫−∞∞∣x^(f)∣2df\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat x(f)|^2 \mathrm{d}f∫−∞∞​∣x(t)∣2dt=∫−∞∞​∣x^(f)∣2df